完全平方差公式是什么
发布时间：2026-01-27 05:21:17来源：
【完全平方差公式是什么】在数学中，完全平方差公式是一个重要的代数公式，常用于简化多项式的运算和因式分解。它与“完全平方和公式”相对应，但符号不同，因此在应用时需特别注意。
一、公式定义
完全平方差公式是指两个数的差的平方等于这两个数的平方差加上两倍的乘积的相反数。其数学表达式为：
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
该公式可以用于展开或简化形如 $(a - b)^2$ 的表达式。
二、公式的结构分析
| 项 | 表达式 | 含义说明 |
| 1 | $a^2$ | 第一个数的平方 |
| 2 | $-2ab$ | 两数乘积的两倍，符号为负 |
| 3 | $b^2$ | 第二个数的平方 |
三、使用场景举例
| 场景 | 应用公式 | 结果示例 |
| 展开表达式 | $(x - 3)^2$ | $x^2 - 6x + 9$ |
| 因式分解 | $x^2 - 8x + 16$ | $(x - 4)^2$ |
| 简化计算 | $(5 - 2)^2$ | $9$ |
| 解方程 | $x^2 - 10x + 25 = 0$ | $(x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5$ |
四、与完全平方和公式的区别
| 公式类型 | 表达式 | 符号差异 | 举例 |
| 完全平方和 | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | 中间项为正 | $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ |
| 完全平方差 | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | 中间项为负 | $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ |
五、注意事项
1. 符号不可混淆：完全平方差公式中的中间项是“-2ab”，而完全平方和公式是“+2ab”，这一点在实际应用中非常重要。
2. 适用于任何实数或代数式：无论是数字还是字母，只要符合形式，都可以使用该公式。
3. 可用于因式分解：当遇到类似 $a^2 - 2ab + b^2$ 的表达式时，可以直接写成 $(a - b)^2$。
总结：
完全平方差公式是 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，用于计算两个数之差的平方。其结构清晰，应用广泛，尤其在代数运算和因式分解中非常实用。掌握这一公式有助于提高解题效率和准确性。
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