特征多项式怎么求
【特征多项式怎么求】在线性代数中，特征多项式是一个非常重要的概念，它与矩阵的特征值和特征向量密切相关。特征多项式的计算是理解矩阵性质、求解特征值的重要步骤。本文将总结如何求解特征多项式，并通过表格形式清晰展示其过程。
一、特征多项式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是特征值；
- $ I $ 是单位矩阵；
- $ \det $ 表示行列式。
特征多项式是一个关于 $ \lambda $ 的 $ n $ 次多项式，其根即为矩阵 $ A $ 的特征值。
二、求解特征多项式的步骤
1. 写出矩阵 $ A $
确定所给的矩阵 $ A $，例如：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$
2. 构造矩阵 $ A - \lambda I $
将 $ \lambda $ 乘以单位矩阵并从 $ A $ 中减去，得到：
$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix}
a - \lambda & b \\
c & d - \lambda
\end{bmatrix}
$$
3. 计算行列式
对上述矩阵计算行列式，得到特征多项式：
$$
p(\lambda) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc
$$
4. 展开并整理
展开后得到一个关于 $ \lambda $ 的多项式，通常形式为：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)
$$
三、特征多项式计算示例（2×2矩阵）
| 步骤 | 内容 |
| 1. 原始矩阵 | $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $ |
| 2. 构造 $ A - \lambda I $ | $ \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} $ |
| 3. 计算行列式 | $ (2 - \lambda)(3 - \lambda) - (1)(0) $ |
| 4. 展开并整理 | $ (2 - \lambda)(3 - \lambda) = \lambda^2 -5\lambda +6 $ |
最终特征多项式为：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
四、特征多项式的一般形式（n×n矩阵）
对于任意 $ n \times n $ 矩阵 $ A $，其特征多项式可以表示为：
$$
p(\lambda) = \lambda^n - (\text{tr}(A))\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)
$$
其中：
- $ \text{tr}(A) $ 是矩阵的迹（主对角线元素之和）；
- $ \det(A) $ 是矩阵的行列式。
五、总结表
| 项目 | 内容 |
| 定义 | $ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ |
| 目的 | 求解矩阵的特征值 |
| 方法 | 构造 $ A - \lambda I $，计算行列式 |
| 一般形式 | $ \lambda^n - \text{tr}(A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A) $ |
| 示例 | $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow p(\lambda) = \lambda^2 -5\lambda +6 $ |
通过以上步骤和表格，我们可以系统地理解和计算特征多项式。它是分析矩阵性质和求解特征值的基础工具，具有广泛的应用价值。
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