【什么是代数余子式】代数余子式是线性代数中一个重要的概念，尤其在计算行列式时起着关键作用。它与矩阵的行列式、逆矩阵以及克莱姆法则等密切相关。理解代数余子式的定义和应用，有助于更深入地掌握矩阵运算的基本原理。

一、代数余子式的定义

设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 阶子矩阵的行列式称为元素 $ a_{ij} $ 的余子式，记作 $ M_{ij} $。

而代数余子式则是余子式乘以 $ (-1)^{i+j} $，即：

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

也就是说，代数余子式不仅包含余子式的数值，还根据位置 $ (i, j) $ 的奇偶性决定符号。

二、代数余子式的用途

1. 计算行列式：利用按行或按列展开的方式，将高阶行列式分解为低阶行列式的组合。

2. 求逆矩阵：通过伴随矩阵（由代数余子式构成）来求解矩阵的逆。

3. 解线性方程组：在克莱姆法则中，代数余子式用于判断是否有唯一解。

三、代数余子式的计算步骤

四、示例说明

假设我们有如下 3×3 矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

我们计算元素 $ a_{11} = 1 $ 的代数余子式 $ C_{11} $：

1. 去掉第 1 行和第 1 列，得到子矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

5 & 6 \\

8 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

2. 计算其行列式：$ M_{11} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $

3. 符号：$ (-1)^{1+1} = 1 $

4. 代数余子式：$ C_{11} = 1 \cdot (-3) = -3 $

五、总结对比表

通过以上内容可以看出，代数余子式是连接矩阵与行列式的重要桥梁，理解其定义和计算方法对于学习线性代数具有重要意义。